09 | 压力管道动态分析基础中的基础-集中质量法和一致质量法

集中质量多自由度系统

管道系统是一个连续的系统，它可以有无限种变形方式。然而，在位置相近的两点之间发生激烈的变形，这在现实中可能性并不大。因此，这使得系统可以被分割成有限的离散点进行分析，同时还保有分析的准确性。假定任意两个相邻点之间的变形遵循某种模式，这种模式需要的能量最少，或者是最容易实现的模式。这种方法称为有限元法。在管道系统动态分析的实际应用中，用到的通常是这种方法，主要通过计算机来实现。

有限元分析方法把管道分成有限个离散的单元。每个单元的行为都由相邻单元边界节点的运动决定。一组边界点的条件对应生成这个单元的力学行为。因此，最重要的是评估单元大小，保证边界条件生成的单元力学行为就能代表这个单元的实际特性。显然，单元必须得足够的小。将单元与单元之间的边界点称为节点。一旦确定了单元的大小，就可以通过受力平衡构造振动方程：

这就是前面谈到的单自由度系统振动方程的形式，只不过上式代表了N个线性微分方程。在这儿，N代表的是这个管道系统的总自由度数，它也等于这个系统我们人为划分的节点数的6倍。即，N=6p。p是节点数。将上述振动方程用矩阵展开如下图所示：

{X}对应的是位移向量，什么意思呢？就是说它代表了管道系统每一个节点的位移，每个节点包含6个自由度，即有3个平动方向的位移，x,y,z，还有3个转动方向的位移，就是绕着3个坐标轴转动的角度，rx,ry,rz。为了看得舒服一点，用转置形式表示出来如下：

可以写得更具体些，把每个方向都表达出来，上式可以用下式来表示：

代表的是节点1的x,y,z方向的位移，代表的是节点1绕着x,y,z轴转动的角度。类似，{F}向量代表的是所有节点的每个方向的外力和弯矩。

在计算的过程中，管道受到的弹性力都是由管道的节点相对位移来决定的（这就是为什么在CII动态分析里面，我们都要选择一个工况作为初始状态工况）。前面的振动方程计算对象是管道本身，所以，如果管道的支架或锚固点发生位移，带着相应的管道节点产生位移时，是不包含在上式振动方程的位移中的。支架和锚固点产生位移主要是在地震的情况下。那该怎么处理这个位移呢？地震的计算，通常用加速度向量来参与。我要说的重点就是，这个加速度向量应该是由管道节点相对位移和支架或锚固点位移综合得到的绝对值引出的。

在管道工程领域，对于所涉及的每种类型的荷载，文章开头说到的振动方程求解方法是不同的。最常用的求解方法包括处理地震问题的响应谱法、求解脉冲和其他定义明确的时程力的模态或直接积分法、处理脉动和其他稳态周期性载荷的谐波分析以及其他定义不明确载荷的静态等效法。对于所有的解决方法，基础就是得到相对准确的质量模型。将一根管道划分成多个单元，每个节点正确分配单元的一部分质量。这一系列的节点近似的代表了整根管道，节点划分越细密，就越能接近于真实的管道。但是为了节约计算的时间，缩短工程设计的工期，节点并不是越密集越好。适当的简化，也能最大程度的让整个计算精度满足工程的要求。那么重点就在于，这个节点怎么来划分，管道质量怎么来分配才更能符合工程需要。

集中质量模型与一致质量法

管道系统是由许多连续的管道梁构成的，质量是连续，均匀分布的。同时管道系统里面还包含一些集中质量点，阀门，法兰或其它管件，这些位置是计算考虑的关键点之一。当然，这些集中质量点，不管在静态分析还是动态分析中，工程师们都能正确的考虑到。难点在于，管道是连续质量分布，如果还继续用静态分析的模型直接做动态分析，计算结果的精确性就会大打折扣了。

如下所示，静态情况下梁通常变形为一种可预测的形式，与之不同的，梁在动态情况下可以变形为多种不同的形式。这些变形形式称为自然振型。每个振型都与一个固有频率相关联。由于最低频率的模态最容易受到外力的激励，因此在实际的管道分析中，只有较低频率的模态才有意义。高频率的模态很难被激发，常常忽略它们。

下面的三种振型代表的是6个自由度的最低频率。在这个悬臂梁中，每个振型实际上代表两种模式:一种是在一个方向上的模式，另一种是在一个正交方向上的模式。换句话说，如果梁在x方向有一个振型，那么在z方向也会有一个相同频率下的振型。

在静态分析中，一段管子或一根梁定义成两个节点，就能求出我们感兴趣的参数。利用这种静态模型，由于具有两端的集中质量点，可以求出一阶模态以及正交方向的模态。虽然确定的频率不准确，但至少振动的趋势是清楚的。但是静态模型却不能预测第三和更高阶的模态，因为没有足够的质量点表达梁中间部分节点的运动趋势，就像上面的梁一样，如果就两个质量点，那么3-6阶的振型是没办法表达出来的。因此，如果使用静态分析模型，在执行动态分析时可能会漏掉许多重要的动态振型。

为了动态分析有足够的精度，动态分析的模型需要比静态分析的模型更多的节点。根据下面文献里面的结论，[Munson, D. P., Keever, R. E., Peng, L. C., and Broman, R., 1974, “Computer Application to the Piping Analysis Requirements of ASME Section III, Subarticle NB-3600,” Pressure Vessels and Piping, Analysis and Computers.]，分析的这根管道，确定所要考虑的最高频率，一般规则是每个半波长至少需要两个质量点。根据这一规则，最大的单元长度可以用三段等宽的半波长来计算（如果想要了解的更详细，请查阅上面所提到的文献），如下式：

上面的m是管道单位长度的质量（包含保温和介质单位长度的质量）。F是截断频率，比如CII默认的是33Hz，考虑33Hz以内的模态就够了。

当利用集中质量法作分析时，把单元的质量等效成质量块放在节点上，节点之间用弹簧连接，代表刚度。振动方程中的质量矩阵{M}是一个对角矩阵，极大地简化了求解过程。集中质量法一般也忽略了质量的转动惯量。

还有一种常用方法就是一致质量法。一致质量法的特点就是把单元的质量通过均匀分布，然后求得各单元的质量矩阵，再按照节点的位置组装成总质量矩阵。

两种方法都得到广泛的应用，集中质量法对于有集中质量的细长杆件计算还是具有优势的，比如管道中经常含有阀门这样的集中质量管件，用集中质量法分配质量点更合理。集中质量法还有一个优点就是节省计算量和计算时间。

在《一致质量法和集中质量法的比较分析》，刘相，辽东学院学报，2010，17（3）：207-210,220中，针对梁单元，用集中质量法和一致质量法计算模态，做出如下结论，如表格所示：

并得出结论，供大家参考，我在这直接引用。结论有三：

1.    有限元法分析低阶自振频率的精度高于高阶频率。

2.    一致质量法给出的自振频率高于实际值，而集中质量法给出的自振频率低于精确解。

3.    在采用数目相同的有限单元的情况下，一致质量法的结果优于集中质量法，但由于一致质量法的动力自由度比集中质量法多一倍，所以一致质量法要花费更多的时间来解决特征值问题。

   总之，我们在做管道动态分析时，得到的振型是一个响应的趋势，因此，适当的划分单元，利用集中质量法也可以得到我们想要的结果。也不排除用一致质量法进行分析，但如果管道系统包含的管道很多，阀门管件很多，为了节约时间，建议用集中质量法分析。