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02 | 无阻尼单自由度系统-压力管道振动分析

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发表时间:2019-11-01 23:10作者:LIANG YOUHAI来源:管道的世界网址:http://www.pipeworld.cn

单自由度系统振动.png


01-无阻尼单自由度系统


无阻尼单自由度系统可以更清楚的给我们展示单自由度系统的一些基本特性。阻尼只是表现为阻止或延缓系统的运动趋势,它本质上并不会影响系统的基本特性,但它会增加我们研究系统运动特性的难度。

自然频率(固有频率)。要研究一个结构的动态特性,第一步就是要确定这个结构系统的自然频率。自然频率是结构自由振动的基础属性,跟外载荷是否作用没有关系。有一个简单的办法可以得到自然频率,通过给结构施加一个很小的位移,然后来数结构每秒振动的次数。当然实际上我们不会这么做,前面我们推导出了振动的公式,我们忽略阻尼(C=0)并且设定F(t)=0,这样结构就是自由振动的状态,得到下面的公式:

   

振动方程是常系数线性微分方程,MCk是实常数。而上面不包含C项和F(t)的方程,称为齐次方程。求解这个方程很简单,将y=sinωt或y=cosωt

分别代入上面方程得到:

ω是结构在自由振动下得到的参数,加上角标n,得到方程的解:

  是常数,通过初始条件可以得到。假设在t=0的时候,初始位移y= ,那么初始速度 。这样我们就可以列出两个算式:

t=0y= 得到    ; 所以

t=0 对解求一次导数得到    ;

所以


最终,我们得到齐次方程的解:

通过上面的这个解,在不受任何外力作用的情况下,我们将模拟的这个结构质量点初始位移放在 处,然后释放开,质量点就开始发生自由振动。那么在这个振动过程中,质量点的位移和时间的关系我们就可以通过上面的解得到了。

因为 是一个常数,所以

说明质量点随着时间按照余弦曲线变化,如下图所示:

                                             

振动周期T= ,自然频率(也称固有频率)

 是结构的自然频率, 称为角频率。自然频率单位Hz,如100Hz,代表的是结构每秒钟完成完整周期振动的次数为100。自然频率是结构的本身属性,跟外载荷没有关系。它跟系统的阻尼有一定的关系,但是,阻尼对自然频率的影响并不大,通常可以忽略掉,在下面我们会继续说到它。


   02-无阻尼单自由度系统(外载荷为实常数)


前面我们了解了周期和固有频率,接下来研究一下有外载荷作用的振动问题。最简单的情况就是给系统作用一个恒定的载荷 ,还是忽略阻尼的影响:F(t)=F0,C=0;得到振动方程:

设置特解y = AF0A是待定常数,将y代入上式,得到A=1/ky=F0/k。上式通解为齐次方程的解和和特解的组合,得到下式:

  由初始条件决定。设最初的稳定系统为初始状态,t=0,v=0,代入上式可得到:  。这样得到下面的式子:

现在通过上面的通解,我们简单的对单自由度系统受到恒力作用的情况做个了解。系统位移变化会按照正弦曲线方式进行,最大位移出现在 的时候,即 的时候,最大位移为2 (如下图)。这刚好是静态载荷作用时位移的2倍,就如我们前面讲DLF时,给系统施加一个 的冲击力一样。

系统在只有静载 作用时,系统位移为 ,即


    03-无阻尼单自由度系统(外载荷为简谐载荷)


接下来研究一下外载荷为简谐载荷的情况,简谐载荷是常见的外载荷,它的重要性不言而喻,在管道系统里面有哪些外载荷是简谐性的,大家可以想想,从泵开始想

设外载荷 ,得到下面振动方程:

 是外载荷的角频率,不要跟固有频率的角频率 混淆。

设置特解y=A A是待定实常数,代入上式,解得:

代入振动方程:

代入

上式就是最终求得的特解,通解形式如下:

前面两项是无阻尼单自由度系统的自由振动响应,第三项便是无阻尼单自由度系统的外载荷作用引起的振动。  由初始条件决定。设最初的稳定系统为初始状态,t=0,v=0,代入上式可得到:

   


因此得到这个系统由初始静止状态开始振动的表达式:

在分析DLF之前,一定得弄清楚了,上面的式子中角频率的区别。

很明显,上面括号里面式子分为两部分,前面部分是外载荷简谐力的贡献,后面部分是系统自由振动贡献的部分。我们当然最关心的是什么时候DLF会取得最大值,因为DLF最大时,系统的位移(变形)会最大,结构承受的动载荷作用最大,结构内部的应力也相应的达到最大。只有知道DLF,我们才会问自己,这个时候,支架还能承受得住吗?管口还能行吗?管子会坏吗?设备还能扛吗?我的法兰,弯头,三通…?

根据上面的式子不难看出,当  时,两部分振动叠加得到最大的效果,反之亦然。代入DLF得到:

在一般应用中,应用上式计算DLF最大值,自由振动部分的贡献是偏大的,因为在阻尼作用下,自由振动衰减是相当快的。所以在稳态振动实际应用中,通常会忽略掉自由振动的这部分贡献,即去掉DLF式子中后面部分。这样DLF最大值就变成下面的式子了

再来研究DLF最大值式子,只要作用在系统上的简谐载荷频率等于固定频率, ,上式分母为0DLF变为无穷大。这是什么概念呢?如果不考虑系统的阻尼作用,系统在这种简谐载荷作用下会产生无穷大的响应(y会无穷大),想想,你系统能受得了吗?这就是我们常说的共振现象。因此我们在做设计的时候应该避免这种情况的发生。划重点,那么如何来协调系统的固有频率和外载荷的频率呢,给你一个理论上的界限。看上面的式子,如果外载荷的频率大于等于 倍的外载荷频率会出现什么情况?分母绝对值会变成大于等于1的情况,这样DLF的最大值就会小于等于1了。也就是说我们作用的这个动载荷对结构产生的最大影响还不及静态载荷的作用了。所以设计过程中灵活运用这一点会给你很大帮助,至少,你能有一个参考标准。


    04-无阻尼单自由度系统(外载荷为冲击载荷)


在实际工程中,我们经常会处理一些作用时间非常短暂的冲击载荷。想想,有哪些?从安全阀开始想

管道系统一般情况会受到诸如长方形,三角形,对称三角形,正弦曲线,甚至集中恒定载荷等形式外载荷冲击作用。当然这些冲击载荷作用曲线实际上可能跟我们刚说的这些理想曲线不太一致,但是我们可以近似的处理,按照实际曲线会大大增加计算的难度(赶紧脑补你见过哪些管道系统的作用跟这个类似)。这些冲击载荷的作用,它的响应计算通常可分为两步进行。

用长方形冲击载荷举例子,因为是恒定载荷,我们前面已经分析过了,要用到的振动方程,大家心里有数吗?

它的通解是:

DLF是:


第一步:那么在作用时间内,

外载荷的响应通过上式我们可以进行计算,将 代入上式,可以计算出外载荷冲击结束一瞬间的位移和速度。 时候的位移和速度是冲击载荷作用完成后的初始量。因为冲击载荷作用完成后,结构没有外载荷了,这个时候相当于是自由振动状态,这个自由振动状态的初始条件就是 时刻的位移和速度。前面推导出了自由振动情况的解,那么代入初始条件得到第二步计算的式子。

第二步:

第一步分析中,最大位移出现在 的时候,即 的时候,最大位移为2 。因为冲击的时间一般是很短暂的, ,冲击时间 。如果外载荷冲击时间大于T/2,说明在冲击作用结束之前,结构就会出现最大位移,最大位移是静态作用的2倍。如果外载荷冲击时间小于T/2,说明最大位移不会出现在冲击作用的这个时间段,最大位移就会是 这个时间点出现的位移,然后以这个位移作为初始位移进行自由振动,那么同相位的自由振动最大幅值就是正余弦前面系数平方和开方。

这样的话,我们可以将DLF计算出来:

 时,

 时,

DLF作为纵轴, 作为横轴,可以画出一个曲线如下图:

上面我们说到的计算流程通常应用于理想状态的冲击载荷响应计算,响应的时间历程计算可以通过受冲击载荷作用时间段和自由振动时间段两步完成。其实我们的关注点在于产生最大位移的DLF值。因为我们将分析的结构当做是弹性结构,那么它受到的力、弯矩、应力都是跟位移成线性比例的。所以一旦知道了最大的DLF值,用这个DLF值乘上动载荷的等效静载,就可以对动载荷做静态分析了。这种分析动态载荷的方法,我们称之为等效载荷法。上面和下面的两张图表展示了一些常见的冲击载荷DLF值曲线。

有了这些DLF曲线,我们可以通过估算结构的固有频率来感受一个动态冲击载荷作用在结构上产生的影响。


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