01 | 单自由度系统和DLF-压力管道振动分析

    01-单自由度系统

　　静载荷在管道或结构上的作用是非常缓慢和渐进的。不涉及到任何时间因素和质量惯性的作用。动态载荷在管道或结构上的作用是比较快速的。任何动载荷的变化都会让管道或结构产生相应的响应。因此处理动载荷问题时，时间因素，结构质量都是很重要的参数。

    接下来我们说一说动态载荷的一些基本概念和跟管道相关的一些普通动载荷类型。基于让设计工程师们能快速了解这方面知识的原因，我们只讨论基础，如果您有兴趣了解更多的处理动载荷的相关原理和方法，还请参照其他振动方面的文献资料。

    02-冲击作用和动态载荷因子DLF

    当载荷缓慢的逐渐的加载到一个结构上，它跟我们熟悉的其他突然加载的载荷一样会对结构产生冲击。只不过加载速度的快慢，结构的响应形式有些差异。如下图（a）所示，我们用一个单盘螺旋弹簧为例，一端固定在地面上，另一端自由，假设完全不考虑弹簧本身的质量。上面加沙漏，让细沙慢慢的，均匀的落在弹簧上端盘上。弹簧承受的重量慢慢的增加，这个重量的作用类似于静态载荷。预先设定漏下的沙子重量为W，根据胡克定律，我们知道，最终弹簧的变形量为：

=

    k是弹簧的刚度系数，是弹簧的静态变形量。因为载荷的增加过程很缓慢，所以载荷的速度我们可以忽略不计。当载荷变化停止，变形就立马结束。所以就是载荷W作用最后得到的结构变形量。

                 （a）                (b)                  (c)                 

    作为对比，另一种冲击方式是我们经常会拿来研究的，如（b）。将整个重量W控制在弹簧上端，保持接触，但不作用。我们知道，如果放开重物W，当弹簧变形量达到的时候，弹性力和重物W（外载荷）达到平衡。但是当重物第一次运动到的时候，并没有静止，相反正是重物速度最大的时候。这个速度会迫使重物继续往下运动，这样就让弹簧产生附加的位移，当然对应的就是附加的弹性反力，这样弹簧和重物这个系统受力就不再保持平衡了。这个弹性反力会迫使重物减速，直到速度减为零。此时，弹性反力大于重物的重力W，因此它会把重物往回推动。重物向上运动，弹性力减小，速度由小到大，再由大到零，跟第一次作用过程类似。此后重物会上下反复运动，每次运动的幅度都会因为系统的阻尼作用而逐渐减小，直到幅度变为零。最终重物会停留在受力平衡的位置，即。

    在整个重物运动的过程中，重物运动达到的最大幅度是我们要关注的，就好像我们的压力管道在受到某个类似的冲击载荷时，我们要了解管道最大的变形量一样。那么这个最大变形量怎么来获得呢？我们可以用机械能守恒定律来求解。因为从放开重物的瞬间到重物运动到最大幅度点这两个瞬间，没有任何外来的能量作用在这个系统上，整个系统机械能守恒。假设我们取重物最大幅度为，这个点设为0势能点。那我们看第一个瞬间，重物没有速度，弹簧的质量我们不考虑，因此系统能量为重力势能W；在位置，重物速度也为零，重力势能为0，弹性势能为1/2k×。根据能量守恒定律我们可以得到下面的等式：

或者，

    通过两种载荷的加载方式，得到了不同的最大变形量。如果做一下比较，会发现冲击加载方式（b）得到的结果是静态载荷作用的2倍。这个2倍我们称它为动态载荷因子（DLF），

或

             是静态载荷产生的最大变形量，是相同大小载荷冲击产生的最大变形量。从上面我们可以看出相同大小的载荷，动态冲击时得到了静态载荷作用的2倍变形量，那我们处理类似动态载荷的时候可以将动态载荷乘2当做静态载荷来处理。

    接下来我们看，如果将重物放在离弹簧上端一定高度h，然后让重物自由落体作用在弹簧上面，如上图（c）。这种冲击作用又会产生什么样的效果呢？

    当然，类似于（b）的处理方法，还是用能量守恒定律，我们可以得到下面的式子，

或者，

    做个化简，

    因此，

    由上式可以看出，跟h没有关系，DLF只根据h的变化而变化，当h为零，DLF等于2，就是（b）情况，除此之外，DLF始终大于2。

    我们注意观察上面的3个例子，外载荷W是一个定值，具有持续作用的性质，同时载荷作用至始至终都保持在同一个方向上。在这种情况下我们得出的DLF始终大于等于1。因为DLF取决于动载荷作用的时间因素及结构的质量等方面，所以，DLF也是有可能小于1甚至接近于0的。

    03-单自由度系统

   压力管道系统的动态分析相当复杂。尽管如此，我们在研究管道系统的时候把它当做线性系统，它的绝大多数结构特性我们都认为是线性的或者是多个简单的线性系统的叠加。最简单的线性系统就是我们所谓的单自由度系统。因此了解了单自由度系统（SDOF）的特性处理方法，管道系统是由多个类似这种的单自由度系统线性叠加而成的，它的动态分析难度就大大降低了。

   我们取一根简支梁来做介绍，因为在管道应力分析里面，我们通常把管道简化成梁单元来进行分析，这跟管道规范保持一致（如下图）。如果把这个梁当做是一段管道，重量是均匀的分布在梁上的。因为在管道的动态分析中，连续质量会大大增加分析难度，为了提高计算效率，我们会作进一步的简化。将重量集中成质量点，让这个质量点处于梁的中点。在这个例子中，管道的重量我们会集中在梁的中心，当然中心点分配的质量是总重量的一半，另一半质量分配在梁两端的点上。

这个质量点具有6个自由度（x,y,z,Rx,Ry,Rz），采用笛卡尔坐标系，三个沿着坐标轴平动方向，三个绕着坐标轴转动方向。根据管道的外形特点和载荷的特性，通常并不是6个自由度方向同时对某一载荷产生响应的。比如，在梁中心点Y方向作用一个载荷F(t)，梁只会在Y方向产生相应的反馈。我们把这种系统归为单自由度系统。

04-单自由度系统的工作原理

了解了单自由度系统的一些概念，我们关注的重点应该是如何把这个力学行为具体化出来，用一个我们看得见、可操作的数学公式来表达它的响应过程。

为了更简洁清晰，将上面的集中质量梁单元等效成一个弹簧质量系统。弹簧质量系统我们学习力学知识接触最早也算是最简单的力学模型了（如上图b）。F(t)是作用在系统上的外载荷；k是弹簧的刚度，相当于这根梁的刚度；M代表的是系统的质量；y是弹簧的位移量；C代表的是系统内部或者外部阻止结构发生变形的量，它跟结构的速度相关。然后对这个弹簧质量系统进行力学分析。

看（c）图，假如外载荷是常数，也不随时间发生变化，它是一个静载。根据牛顿定律我们可以得到：

看（d）图，假如外载荷是一个跟随时间变化的值，我们不考虑系统的阻尼影响，根据牛顿定律：

因为F（t）是随时间变化的值，因此加速度a（t）也是跟随时间发生相应变化的值，这个很好理解，不同的外载荷对应不同的加速度。也因此弹簧的变形量同样是一个跟随时间变化的值y(t)。我们知道同一结构位移、速度、加速度有相互关系（它能没有吗），位移求一次导数就得到速度，求两次导数就得到加速度。所以我们可以把上面的平衡公式用同一个变化的量统一起来：

看（e）图，假如我们考虑系统的阻尼影响，阻尼是跟系统速度相关的，根据牛顿定律：

为了公式看起来更美观，把外载荷和系统内部的响应载荷分开，得到：

根据公式我们会发现，这个弹簧质量系统在受到外载荷作用时，它的所有响应都只跟位移y相关（y就是6个自由度里面的其中一个），我们只要能明确外载荷F(t)的情况，就能知道系统响应状态y(t)，这就是单自由度系统。